Les journées annuelles du GT CombAlg ont lieu les 3 et 4 juillet à Paris (en salle 164 du bâtiment Olympe de Gouges de l'Université Paris-Cité).

Elles seront suivies d'une journée de l'ANR Combiné le 5 juillet.

Ces journées seront composées d'un mini-cours et de 3 exposés invités :

Mini-cours :

Frédéric Chapoton (CNRS & IRMA) : Les ordres partiels et leurs représentations 

La structure d'ordre partiel est très simple, présente partout en mathématique. Le plus souvent, on la considère comme un auxiliaire utile pour d'autres constructions. Parfois, on s'intéresse aux propriétés topologiques d'espaces associés, qui sont liés aux nombres de Möbius. Un autre point de vue moins commun est d'y penser comme une structure algébrique, comparable à et peut-être aussi fondamentale que celle de groupe. Ceci mène à regarder les représentations des ordres partiels, qui définissent des catégories pas si simples et très riches. On tombe très vite dans des situations sauvages, au sens technique de ce mot. On expliquera aussi comment ceci mène à une notion d'équivalence dérivée entre ordres partiels, et comment montrer que deux ordres partiels ne sont pas équivalents en ce sens.

Exposés invités :

Wenjie Fang (LIGM, Univ. Gustave Eiffel) : Combinatorial models and bijections in Parabolic Cataland, type A and B

The Tamari lattice can be seen as a lattice quotient of the weak order, which leads to its generalization in the context of Coxeter group as Cambrian lattices by Reading. Such construction was then further generalized by Mühle and Williams to parabolic quotients of finite Coxeter group, leading to parabolic Tamari lattices. In this talk, we describe combinatorial models for parabolic Tamari lattices of type A and B, and some enumerative consequences.

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Baptiste Rognerud (IMJ, Sorbonne Univ.) : Symétrie cachée des ensembles ordonnés de Tamari

L' ensemble ordonné de Tamari sur les arbres binaires à $n$ sommets internes possède une symétrie d'ordre $2n+2$. Ce type de symétrie, d'origine algébrique, est assez difficile à observer, cependant dans le cas de Tamari on peut en obtenir une jolie description combinatoire à l'aide de certains intervalles, appelés exceptionnels. Dans cet exposé je présenterai cette symétrie ainsi que les premières étapes vers une généralisation à des ensembles de `type Tamari' associés à des carquois. On verra que cette généralisation fait naturellement apparaître une famille d'intervalles dans Tamari comptée par les nombres de Motzkin.

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Maria Ronco (Univ. Talca) : Primitive elements in magmatic algebras

We consider the free magmatic algebra spanned by a collection of binary magmatic products *_s. There exists a unique coassociative coproduct delta which satisfies a unital infinitesimal relation with all the products *. In order to compute the primitive elements of this bialgebra, we proved a similar formula than  M. Aguiar and F. Sottile  in this framework, and give a full description of the subspace of its primitive elements. We use the previous construction to compute irreducible elements of the Hopf algebra of posets introduced by V. Pilaud and V. Pons.

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Exposés courts :

Rafael Gonzalez De Leon (Loyola Univ. Chicago) : On Whitney numbers of the first and second kind, or is it the other way around?

The Whitney numbers of the first and second kind are a pair of poset invariants that are relevant in various areas of mathematics. One of the most interesting appearances of these numbers is as the coefficients of the chromatic polynomial of a graph. They also appear as counting regions in the complement of a real hyperplane arrangement. In this talk, I will share a very curious phenomenon: sometimes the Whitney numbers of the first and second kind of a poset happen to be also the Whitney numbers of the second and first kind but of a different poset. We call this phenomenon Whitney duality and to find examples we rely on the techniques of edge labelings and quotient posets. I will present some key results in the theory of Whitney duality and in particular recent results regarding nonuniqueness. Joint work with Josh Hallam and Yeison Quiceno.

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Alexander Lazar (Univ. Libre de Bruxelles) : Set Valued Tableaux: q-Counting and Catalan Combinatorics

Set-valued tableaux are a generalization of Young tableaux in which the cells of a Young diagram can be filled with nonempty sets of integers. These objects have an intricate combinatorial structure and also have applications to algebraic geometry. In this talk I will present joint work with Sam Hopkins (Howard U) and Svante Linusson (KTH) in which we study the q-enumeration of "barely set-valued" Young tableaux, as well as recent work with Linusson in which we study set-valued tableaux more generally in the two-row case.

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Loïc Le Mogne (Univ. Saclay) : (q,t)-symmetry in triangular partitions

The study of the (q,t)-enumeration of the Triangular Dyck paths, i.e. the sub-partitions of the so-called triangular partitions discussed by Bergeron and Mazin. This is a generalization of the general (q,t)-enumeration of Catalan objects. We present new combinatorial notions such as the triangular tableau and the deficit statistic and prove the (q,t)-symmetry and Schur positivity for 2-partitions.

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Chiara Mantovani (École Polytechnique) : A realization of poset associahedra as sections of graph associahedra

Poset associahedra are a family of convex polytopes introduced by Pavel Galashin in 2021, each one associated to a partially ordered set, that generalize the classical associahedron. Another class of well known generalizations of the associahedron is graph associahedra, each one associated to a graph, defined by Carr and Devadoss. I will describe the combinatorial structure of both graph associahedra and poset associahedra. I will then present Postnikov’s realization of graph associahedra as generalized permutahedra, and I will use it to provide a realization of the poset associahedron of a poset P, obtained as a section of the graph associahedron of the line graph of P.

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Hoang Ngoc Minh (Univ. Paris Nord) : On the solutions of universal differential equation by noncommutative Picard-Vessiot theory

Basing on Picard-Vessiot theory of noncommutative differential equations and algebraic combinatorics on noncommutative formal series with holomorphic coefficients, various recursive constructions of sequences of grouplike series converging to solutions of universal differential equation are proposed. Basing on monoidal factorizations, these constructions intensively use diagonal series and various pairs of bases in duality, in concatenation-shuffle bialgebra and in a Loday's generalized bialgebra. As applications, the unique solution, satisfying asymptotic conditions, of Knizhnik-Zamolodchikov equations is provided by dévissage.

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Philippe Nadeau (CNRS & ICJ, Univ. Lyon 1) : Représentations de Sn et mots de Smirnov.

J'expliciterai l'interprétation combinatoire d'une certaine fonction symétrique. La motivation vient d'une certaine famille de représentations naturelles du groupe symétrique, qui a donné lieu à de nombreux travaux ces vingt-cinq dernières années. La combinatoire en question est celle des "mots de Smirnov", qui sont les mots sur un alphabet dont les lettres consécutives sont disctinctes. Travail en cours avec Alessandro Iraci et Anna Vanden Wyngaerd.

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Eva Philippe (IMJ, Sorbonne Univ.) : Geometric realizations of the s-permutahedron

Ceballos and Pons introduced in 2019 a generalization of permutations and weak order depending on a vector of integers s. They conjectured that this structure admits a geometric realization as a polyhedral subdivision of a polytope: the s-permutahedron. In this talk I will present three geometric realizations that allow to answer this conjecture.
This is joint work with Rafael S. González D’León, Alejandro H. Morales, Daniel Tamayo Jiménez, Yannic Vargas, Martha Yip.

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Germain Poullot (IMJ, Sorbonne Univ.) : Des règles de pivot aux permutaèdres généralisés : polytopes de pivot des produits de simplexes

L'objectif est de relier l'optimisation linéaire et les permutaèdres généralisés. Plus précisément, étant donné un problème linéaire (P, c) le comportement de certaines classes de règles de pivot (les "shadow vertex rules") peuvent être encodées dans un polytope : le polytope de pivot de (P, c). Après avoir introduit ce sujet, on montrera qu'on peut donner une interprétation combinatoire du polytope de pivot, ce qui nous amènera dans le monde des permutoèdres généralisés. On prendra comme exemple les cas du simplexe, du cube, et plus généralement des produits de simplexes. Travail en commun avec Vincent Pilaud et Raman Sanyal.

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Kurt Stoeckl (Univ. Melbourne) : Relating Diagonals of the Permutahedra

The study of cellular approximations to the diagonal of polytopes has a long history, mostly owing to applications in homotopy theory. In this talk, we will focus on a well known polytope, the permutahedra.  We shall briefly review existing theory and some new enumerative results, before seeking to relate two distinct formulae for cellular operadic diagonals of the permutahedra. Through combinatorial means, we will show that the Saneblidze—Umble diagonal (2004), and Laplante-Anfossi diagonal (2022), are the only such diagonals. Furthermore, we shall relate them via a simple isomorphism. This talk is based on ongoing joint work with Berenice Delcroix-Oger, Matthieu Josuat-Verges, Guillaume Laplante-Anfossi and Vincent Pilaud.

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Yannic Vargas (Univ. Graz) : Algebraic and combinatorial aspects of non-commutative probability

Free probability theory, introduced by Voiculescu, is a non-commutative probability theory where the classical notion of independence is replaced by a non-commutative analogue (« freeness »). Originally considered in an operator-algebraic context to solve problems related to von Neumann algebras, several aspects of non-commutative probability have a combinatorial nature. For instance, it has been shown by Speicher that the relations between moments and cumulants related to non-commutative independences involve the study of non-crossing partitions. More recently, the work of Ebrahimi-Fard and Patras has provided a way to use the group of characters on a Hopf algebra of « words on words », and its corresponding Lie algebra of infinitesimal characters, to study cumulants corresponding to different types of independences (free, boolean and monotone). In this talk we will give a survey of this last construction, and present an alternative description using the notion of series of a species.

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Exposés à la journée de l'ANR Combiné :

Guillaume Chapuy (CNRS, IRIF, Univ. Paris Cité) : Sur la hauteur des chemins des intervalles de Tamari aléatoires uniformes

On sait depuis environ quinze ans que les intervalles (paires de chemins de Dyck comparables) dans les treillis de Tamari ont beaucoup à voir avec les cartes planaires: équations similaires, formules de comptage similaires, existence d'un phénomène d'universalité selon lequel les intervalles, comme les cartes, se déclinent en "familles" ou "variantes", et stupéfiantes coïncidences dans l'énumération. Pourtant, bien que l'étude des cartes planaires aléatoires ait fait couler beaucoup d'encre, il semblerait que personne n'ait regardé les intervalles aléatoires. C'est ce que je ferai: je montrerai que dans un intervalle de Tamari aléatoire uniforme de taille n, les points typiques sur les chemins ont hauteur d'ordre O(n^{3/4}), avec identification de la loi limite pour un point pris au hasard. La démonstration est de la combinatoire analytique multi/uni-variée classique via la méthode des moments et n'a rien de bien original, si on connaît bien les techniques existantes. Le gros de l'exposé sera donc surtout une introduction aux techniques de séries génératrices pour l'énumération d'intervalles, les équations à variable(s) catalytique(s), et la méthode des moments. 

Zoé Varin (LABRI, Univ. Bordeaux) : Un système de particules : le modèle de golf sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et sur $\mathbb{Z}$.

On considère un modèle de parking aléatoire, que l'on appelle "golf aléatoire", et qui est défini sur un graphe fini connexe, ou infini connexe, sous certaines hypothèses. Chaque sommet du graphe est soit muni d'une balle, d'un trou, ou est considéré comme un sommet neutre, l'arrangement initial étant aléatoire. Les balles sont activées à tour de rôle, selon un ordre aléatoire uniforme. Une fois activée, une balle réalise une marche aléatoire jusqu'au premier trou libre qu'elle trouve, s'arrête, et l'occupe (elle est ensuite désactivée définitivement). Sur les graphes cycliques $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, on caractérise la loi des trous résiduels dans le cas où on tire l'arrangement initial uniformément parmi ceux ayant un nombres de balles et de trous fixés. On en déduit des résultats asymptotiques sur la distribution du processus des distances entre les trous résiduels consécutifs lorsque $n$ tend vers l'infini et le système contient un nombre infini de balles et de trous, et on montre une transition de phase, lorsque le processus contient de l'ordre de $\sqrt{n}$ trous résiduels. On montre par ailleurs que le modèle est bien défini sur $\mathbb{Z}$, et on explicite également la loi des trous résiduels dans ce cas.

Sylvie Corteel (CNRS, IRIF, Univ. Paris Cité): Combinatorics of the Delta conjecture at t=-1

In the context of the shuffle theorem, many classical integer sequences appear with a natural refinement by two statistics q and t, like the Catalan and Schröder numbers. In particular, the bigraded Hilbert series of diagonal harmonics is a q, t-analog of (n + 1)^(n−1) (and can be written in terms of symmetric functions via the nabla operator). The motivation for this talk is the observation that at t = −1, this q, t-analog becomes a q-analog of Euler numbers, a famous integer sequence that counts alternating permutations. We prove this observation via a more general statement, that involves the Delta operator on symmetric functions (on one side), and new combinatorial statistics on permutations involving peaks and valleys (on the other side). Joint work with Matthieu Josuat-Vergès, Alexander Lazar and Anna Vanden Wyngaerd.

Frédéric Jouhet (ICJ, Univ. Lyon) : Identités d'Andrews-Gordon et algèbre commutative